Question

已知关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）求得所有的（a，b）共12个，而满足条件的（a，b）共3个，由此求得所求事件的概率．
（2）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC，其中所求事件的区域为三角形OEC，由所求事件发生的概率为

S△OEC

SOABC

，运算求得结果．

解答：解：（1）设事件A为“方程x²-2ax+b²=0无实根”；--------（1分）
当△=4a²-4b²=4（a²-b²）＜0，即a＜b时，方程x²-2ax+b²=0无实根．---------（3分）
所有的（a，b）共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中，第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2），（1，2），
由于每个基本事件发生的可能性都相同，------（4分）
∴事件A发生的概率P（A）=

3

12

=

1

4

．---------（6分）
答：方程x²-2ax+b²=0没有实根的概率为

1

4

．-------（7分）
（2）设事件B为“方程x²-2ax+b²=0无实根”；----（8分）
如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其中构成事件B的区域为三角形OEC，即{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＜b}，
由于点（a，b）落在区域内的每一点是随机的，----------（10分）
∴事件B发生的概率P（B）=

S△OEC

SOABC

=

1 2 ×2×2

3×2

=

1

3

．-------（13分）
答：方程x²-2ax+b²=0没有实根的概率为

1

3

．--------（14分）

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，几何概型问题，属于基础题．