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(2010•通州区一模)设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,
3
2
)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=
1
2
x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l经过点F1,求△ABF2的面积;
(Ⅲ)求
OA
 • 
OB
的取值范围.
分析:(Ⅰ)由题设可知,椭圆的焦点在x轴上,求出a=2,又点A(1,
3
2
)在椭圆上,解得b,最后写出椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F1、F2两点的坐标;直线l:y=
1
2
x+m经过点F1求得m,设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△ABF2的面积,从而解决问题.
(Ⅲ)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得求
OA
 • 
OB
的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由题设可知,椭圆的焦点在x轴上,且2a=4,即a=2.            (1分)
又点A(1,
3
2
)在椭圆上,∴
1
4
+
(
3
2
 2
b2
=1
,解得b2=3.(2分)
∴椭圆C的标准方程是
x2
4
+
y2
3
=1
.                                          (3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c2=a2-b2=1,即c=1,
∴F1、F2两点的坐标分别为(-1,0)、(1,0).                                    (4分)
∵直线l:y=
1
2
x+m经过点F1(-1,0),
∴0=
1
2
×(-1)+m,∴m=
1
2
.                                               (5分)
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意,有
x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+
1
2
,消去x,整理得16y2-12y-9=0,
∴y1+y2=
3
4
,y1y2=-
9
16
.                                                (6分)
设△ABF2的面积为SABF2,则
SABF2=
1
2
|F1F2||y2-y1|=
1
2
×2
(y1+y2 2-4y1y2 
=
9
16
+
36
16
=
3
5
4

(Ⅲ)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由题意,有
x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+m
,消去y,整理得x2+mx+m2-3=0  ①
x1+x2=-m,x1x2=m2-3.
∴y1y2=(
1
2
x1+m)(
1
2
x2+m)=
1
4
x1x2+
1
2
(x1+x2)m+m2
=
1
4
(m2-3)+
1
2
(-m)m+m2=
3
4
m2-
3
4
.                                      (10分)
OA
OB
=x1x2+y1y2=m2-3+
3
4
m2-
3
4
=
7
4
m2-
15
4
,(11分)
又由①得,△=m2-4(m2-3)=-3m2+12,
∵A、B为不同的点,∴△>0,∴0≤m2<4.     
∴-
15
4
OA
OB
13
4

OA
OB
的取值范围是[-
15
4
13
4
).                                          (14分)
点评:本小题主要考查椭圆的标准方程、平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想.属于基础题.
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-2≤x≤2
0≤y≤2
确定的平面区域为U,
x-y+2≥0
x+y-2≤0
y≥0
确定的平面区域为V.
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(Ⅱ)在区域U内任取一点M,求该点在区域V的概率.

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1
4
1
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