Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）以向量

AB

方向为侧视方向，侧视图是什么形状？说明理由并画出侧视图．
（2）求证：CN∥平面AMD；
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）根据已知中四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，我们可以判断出其侧视图的形状，及各边的长，进而可画出侧视图．
（2）由已知中四边形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，我们可以得到BC∥平面AMD且NB∥平面AMD，进而由面面平行的判定定理得到平面BNC∥平面AMD，再由线面平行的判定定理得到答案．
（3）连接AC、BD，交于O点，结合已知条件可将该几何体分为四棱锥A-MDBN和四棱锥C-MDBN，分别求出四棱锥A-MDBN和四棱锥C-MDBN的体积，即可得到答案．

解答：解：（1）因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，BC=MD=NB，所以侧视图是正方形及其两条对角线；如下科所示
 …（4分）
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD；
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故CN∥平面AMD；…（8分）
（3）连接AC、BD，交于O点，∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，∴AO⊥平面MDBN，…（10分）
因为矩形MDBN的面积S=MD×BD=

2

，
所以四棱锥A-MDBN的体积V=

1

3

S•AO=

1

3

同理四棱锥C-MDBN的体积为

1

3

，故该几何体的体积为

2

3

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判断，棱锥的何种，几何体的三视图，其中在画三视图的时候，要注意看不到的棱和轮廓线要画成虚线，本题易将两条对角线忘记画，或都画成实线，造成错误．