Question

15．已知$f（x）=（2log_4^x-2）（log_4^x-\frac{1}{2}）$
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若$f（x）≥mlog_4^x$关于x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$f（x）=（2log_4^x-2）（log_4^x-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$（log2x）2-$\frac{3}{2}$log2x+1，2≤x≤4，令t=log₂x，则y=$\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{8}$，由此能求出函数的值域．
（2）令t=log₂x，得 $\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1$≥\frac{1}{2}$mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m≤t-3+$\frac{2}{t}$对于t∈[2，4]恒成立，构造函数g（t）=t+$\frac{2}{t}$-3，t∈[2，4]，能求出m的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=（2log_4^x-2）（log_4^x-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$（log2x）2-$\frac{3}{2}$log2x+1，2≤x≤4，
令t=log₂x，则y=$\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{8}$，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=$\frac{3}{2}$时，y_min=-$\frac{1}{8}$，当t=1，或t=2时，y_max=0．
∴函数的值域是[-$\frac{1}{8}$，0]．
（2）令t=log₂x，得$\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1≥$\frac{1}{2}$mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m≤t-3+$\frac{2}{t}$对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）=t-3+$\frac{2}{t}$，t∈[2，4]，
∴g（t）=t-3+$\frac{2}{t}$=（t+$\frac{2}{t}$）-3，
∵g（2）=0，g（4）=$\frac{3}{2}$，
∴g（t）_min=0，∴m≤0．
故m的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．