Question

已知△ABC的面积S满足

3

≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6．
（1）求角B的取值范围；
（2）求函数f(B)=

1- 2 cos(2B- π 4 )

sinB

的值域．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的面积S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinB，且

AB

•

BC

=6．我们易得S=-3tanB，又因为满足

3

≤S≤3

3

，故我们可得一个关于角B的三角不等式，根据正切函数的单调性及B为三角形内角，解三角不等式即可得到角B的取值范围；
（2）要求函数f（B）的值域，要先将函数的解析式进行化简，然后根据正弦型函数的单调性和（1）中B的取值范围进行求解．

解答：解：（1）

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|•cos(π-B)=6①
S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinB②；
由①、②得，S=-3tanB．
由

3

≤S≤3

3

可得，

3

3

≤-tanB≤

3

，
又0≤B≤π，
所以B∈[

2π

3

，  

5π

6

]．
（2）f(B)=

1- 2 cos(2B- π 4 )

sinB

=2

2

sin(B-

π

4

)，
因为B∈[

2π

3

，  

5π

6

]，
所以B-

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，
当B=

3π

4

时，
f（B）取最大值2

2

；
当B=

2π

3

或B=

5π

6

时，
f（B）取最小值1+

3

．
综上，所求函数的值域为[1+

3

，2

2

]．

点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=

π

ω

进行求解．