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已知椭圆的离心率,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
 (1)求椭圆的方程;
 (2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且,求y0的值。
解:(1)由得3a2=4c2
再由c2=a2-b2,得a=2b
由题意可知
即ab=2
解方程组
得a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)由(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(c+2)
于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0

从而
设线段AB的中点为M,则M的坐标为
以下分两种情况:
①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是
得y0=
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为
令x=0,解得

·
整理得7k2=2,故
所以
综上
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分13分)

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线轴相交于定点

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点的直线与椭圆交于两点,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线轴相交于定点

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分13分)

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线轴相交于定点.

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省成都外国语学校2011-2012学年高三2月月考(数学文). 题型:解答题

 

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线轴相交于定点

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点的直线与椭圆交于两点,求的取值范围.

 

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省成都外国语学校2011-2012学年高三2月月考(数学理) 题型:解答题

 

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线轴相交于定点

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点的直线与椭圆交于两点,求的取值范围.

 

 

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