Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（Ⅰ）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D，根据梯形中位线定理及平行四边形判定定理，可得四边形ODC₁C是平行四边形，进而OC∥C₁D，根据线面平行的判定定理，可得OC∥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）以B₁为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量和平面AA₁C₁C的一个法向量，代入向量夹角公式，求出二面角B-AC-A₁平面角的余弦值，进而可得二面角B-AC-A₁的大小．

解答：证明：（Ⅰ）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D
则OD∥BB₁∥CC₁
因为O是AB的中点，
所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1
则四边形ODC₁C是平行四边形，
因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁
且OC?平面C₁B₁A₁，
则OC∥平面A₁B₁C₁…6′
（Ⅱ）如图，以B₁为原点建立空间直角坐标系，
则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），
∴

AB

=(0，-1，-2)，

BC

=(1，0，1)，
设

m

=(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则
则

AB

•

m

=0，

BC

•

m

=0得：

-y-2z=0 x+z=0

取x=-z=1，

m

=(1，2，-1)
显然，

n

=(1，1，0)为平面AA₁C₁C的一个法向量
则cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1+2+0

6 × 2

=

3

2

，
结合图形可知所求二面角为锐角
所以二面角B-AC-A₁的大小是30°…12′

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得OC∥C₁D，（II）的关键是构造空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．