Question

（2013•韶关二模）设点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，其中F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF₂F₁=3，则双曲线的离心率为

10

2

．

Answer 1

分析：先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率

解答：解：∵圆x²+y²=a²+b²的半径r=

a2+b2

=c，
∴F₁F₂是圆的直径，
∴∠F₁PF₂=90°
依据双曲线的定义：|PF₁|-|PF₂|=2a，
又∵在Rt△F₁PF₂中，tan∠PF₂F₁=3，
即|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
在直角三角形F₁PF₂中
由（3a）²+a²=（2c）²，
得e=

c2 a2

=

10

2

．
故答案为：

10

2

．

点评：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法，属于中档题．