【题目】如图,直三棱柱中,,,分别为、的中点.
(1)证明:平面;
(2)已知与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
解法1:(1)建立空间直角坐标系,利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直;
(2)设,利用与平面所成的角为得到的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值.
解法2:(1)取中点,连接、,易证平面,再证明,可得平面
(2)设,利用与平面所成的角为得到的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值.
解法3:(1)同解法2
(2)设,利用三棱锥等体积转化,得到到面的距离,利用与平面所成的角为得到与的关系,解出,在两个平面分别找出垂直于交线,得到二面角,求出其余弦值.
解法1:
(1)以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.
设,,则,,, ,,,,,.
因为,,
所以,,面,面,
于是平面.
(2)设平面的法向量,
则,,
又,,
故,取,得.
因为与平面所成的角为,,
所以, ,
解得,.
由(1)知平面的法向量,
,
所以二面角的余弦值为.
解法2:
(1)取中点,连接、,
,
平面,平面
,
而平面,平面,
平面.
为中点, ,,
,,
四边形为平行四边形,
.
平面.
(2)以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.
设,,,则,,.
设平面的法向量,
则,,
又,,
故,
取,得.
因为与平面所成的角为,,
所以, ,
解得,.
由(1)知平面的法向量,
所以二面角的余弦值为.
解法3:
(1)同解法2.
(2)设,,则,,,
,,
到平面距离,设到面距离为,
由
得,即
.
因为与平面所成的角为,
所以,
而在直角三角形中,
所以,
解得.
因为平面,平面,所以,
平面,平面所以,所以平面,
平面,平面
所以为二面角的平面角,
而,可得四边形是正方形,所以,
所以二面角的余弦值为.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金才能获得最大收益?其最大收益为多少万元?
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有仓,广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛,问高几何?”其意思为:“今有一个长方体(记为)的粮仓,宽3丈(即丈),长4丈5尺,可装粟一万斛,问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为2.7立方尺,一丈为10尺,则下列判断正确的是__________.(填写所有正确结论的编号)
①该粮仓的高是2丈;
②异面直线与所成角的正弦值为;
③长方体的外接球的表面积为平方丈.
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【题目】某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,计算两个班学分的方差.得______,并由此可判断成绩更稳定的班级是______班.
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【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=4,CB=4,CC1=2,∠ACB=90°,点M在线段A1B1上.
(1)若A1M=3MB1,求异面直线AM和A1C所成角的余弦值;
(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°,试确定点M的位置.
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【题目】阅读:
已知、,,求的最小值.
解法如下:,
当且仅当,即时取到等号,
则的最小值为.
应用上述解法,求解下列问题:
(1)已知,,求的最小值;
(2)已知,求函数的最小值;
(3)已知正数、、,,
求证:.
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