Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）若x∈[

5

24

π，

3

4

π]，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=

3

，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角、辅助角公式化简函数，结合角的范围，即可求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值；
（Ⅱ）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，即可求a、b的值．

解答：解（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1…（3分）
令t=2x-

π

6

，t∈[

π

4

，

4π

3

]，∴f（t）=sint-1，
∴当t=

π

2

即x=

π

3

时，f（x）_max=0
当t=

4π

3

即x=

3π

4

时，f(x)min=-

3

2

-1；    …（6分）
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，则sin（2C-

π

6

）=1，…（7分）
∵0＜C＜π，∴0＜2C＞2π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

    …（9分）
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a ①…（10分）
由余弦定理得c²=a²+b²-ab=3  ②…（11分）
由①②解得：a=1，b=2．          …（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析转化问题的能力，正确化简函数是关键．