Question

已知x、y是正变数，a、b是正常数，且

a

x

+

b

y

=1，x+y的最小值为

a+b+2

ab

．

Answer 1

分析：根据

a

x

+

b

y

=1，可假设

a

x

=cos²θ，

b

y

=sin²θ，则x=asec²θ，y=bcsc²θ，，从而将x+y转化为a+b+atan²θ+bcot²θ，进而可利用基本不等式，求出最小值．

解答：解：令

a

x

=cos²θ，

b

y

=sin²θ，则x=asec²θ，y=bcsc²θ，
∴x+y=asec²θ+bcsc²θ=a+b+atan²θ+bcot²θ≥a+b+2

atan2θ•bcot2θ

=a+b+2

ab

．
故答案为：a+b+2

ab

点评：本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，解题的关键是三角换元．