Question

20．已知α、β均为锐角，且cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求α-β的值．

Answer 1

分析 由已知求出sinα，sinβ的值，代入两角差的余弦求得cos（α-β），再结合α-β的范围得答案．

解答 解：∵α、β均为锐角，且cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$sinα=\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$sinβ=\sqrt{1-co{s}^{2}β}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，
又cosα＞cosβ，∴α＜β，
则$-\frac{π}{2}＜α-β＜0$
∴α-β=$-\frac{π}{4}$．
故答案为：$-\frac{π}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦，训练了由三角函数值求角，是基础题．