Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+cx满足：①函数f（x）在x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2；②函数f（x）的图象过点（1，-2）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求过点P（1，-2）与函数f（x）的图象相切的直线方程；
（3）设f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m之差M-m为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2，确定c=-3a，利用函数f（x）的图象过点（1，-2），可得-2=a+c，从而可求f（x）的表达式；
（2）设出切点坐标，可得切线方程，代入（1，-2），即可得出结论；
（3）确定函数的极值，分类讨论，求出函数的最值，即可得出g（t）的表达式．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+c，令f′（x）=0得x=±

- c 3a

∴|x1-x2|=2

- c 3a

=2
∴c=-3a①
∵函数f（x）的图象过点（1，-2），
∴-2=a+c②
∴由①②解得a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x…（4分）
（2）∵f'（x）=3x²-3
设切点坐标为(x0，x03-3x0)
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)…（6分）
∵切线过P（1，-2）
∴-2-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0)
解之得x0=1，x0=-

1

2

∴过点P（1，-2）与函数f（x）的图象相切的切线方程为：y=-2或9x+4y-1=0．  …（8分）
（3）f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，x=±1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		2		-2

所以，f（x）_极大=2，f（x）_极小=f（1）=-2．…（10分）
若f（x）在[t，t+2]上是增函数，必须有t+2≤-1或t≥1，
当t≤-3时，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=M-m=6t²+12t+2，
令f（t+2）=f（t），6t²+12t+2=0，t=-1±

6

3

，
当-3＜t≤-1-

6

3

时，m=f（t），M=2，g（t）=-t³+3t+2，
当-1-

6

3

＜t≤-1时，m=f（t+2），M=2，g（t）=-t³-6t²-9t，
当-1＜t≤-1+

6

3

，m=-2，M=f（t），g（t）=t³-3t+2，
当-1+

6

3

＜t≤1时，m=-2，M=f（t+2），g（t）=t³+6t²+9t+4，
当t＞1时，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=6t²+12t+2．
∴g(t)=

6t2+12t+2 (t≤-3) -t3+3t+2 (-3＜t≤-1- 6 3 ) -t3-6t2-9t (-1- 6 3 ＜t≤-1) t3-3t+2 (-1＜t≤-1+ 6 3 ) t3+6t2+9t+4 (-1+ 6 3 ＜t≤1) 6t2+12t+2 (t＞1)

…（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．