分析 (1)求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标,根据$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$便可得到cosαcosβ+sinαsinβ=0,从而得出cosθ=0,从而便可求出θ,继而求出sinθ;
(2)先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标,根据$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$即可得到$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-cosβ}\\{sinα=1-sinβ}\end{array}\right.$,两边分别平方并相加便可得到sinβ=$\frac{1}{2}$,进而得到sin$α=\frac{1}{2}$,根据条件0<β<α<π即可得出α,β,从而求出cos(α+β).
解答 解:(1)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)$;
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{(cosα-cosβ)^{2}+(sinα-sinβ)^{2}}$=$\sqrt{2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)}=\sqrt{2}$;
∴cosαcosβ+sinαsinβ=0;
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{1}=0$;
$θ=\frac{π}{2}$,sinθ=1;
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)$=(0,1);
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0}\\{sinα+sinβ=1}\end{array}\right.$;
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-cosβ}\\{sinα=1-sinβ}\end{array}\right.$,两边分别平方再相加得:1=2-2sinβ;
∴sin$β=\frac{1}{2}$,sinα=$\frac{1}{2}$;
∵0<β<α<π;
∴$β=\frac{π}{6},α=\frac{5π}{6}$;
∴cos(α+β)=cosπ=-1.
点评 考查向量坐标的加法、减法运算,根据向量坐标求向量长度,向量夹角余弦的坐标公式,以及根据三角函数值求角.
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A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |
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