Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，求sinθ的值；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（0，1），若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，根据$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$便可得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，从而得出cosθ=0，从而便可求出θ，继而求出sinθ；
（2）先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，根据$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$即可得到$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-cosβ}\\{sinα=1-sinβ}\end{array}\right.$，两边分别平方并相加便可得到sinβ=$\frac{1}{2}$，进而得到sin$α=\frac{1}{2}$，根据条件0＜β＜α＜π即可得出α，β，从而求出cos（α+β）．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（cosα-cosβ）^{2}+（sinα-sinβ）^{2}}$=$\sqrt{2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）}=\sqrt{2}$；
∴cosαcosβ+sinαsinβ=0；
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{1}=0$；
$θ=\frac{π}{2}$，sinθ=1；
（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）$=（0，1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0}\\{sinα+sinβ=1}\end{array}\right.$；
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-cosβ}\\{sinα=1-sinβ}\end{array}\right.$，两边分别平方再相加得：1=2-2sinβ；
∴sin$β=\frac{1}{2}$，sinα=$\frac{1}{2}$；
∵0＜β＜α＜π；
∴$β=\frac{π}{6}，α=\frac{5π}{6}$；
∴cos（α+β）=cosπ=-1．

点评 考查向量坐标的加法、减法运算，根据向量坐标求向量长度，向量夹角余弦的坐标公式，以及根据三角函数值求角．