Question

【题目】已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．

（1）已知（x）=，x∈[0，1]利用上述性质，求函数f（x）的值域；

（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=-x+2a．若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）[-4,-3]；（2）．

【解析】

（1）f（x）（2x+1），利用换元法，结合基本不等式即可求解；

（2）任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求解g（x）的值域M和f（x）的值域N，可得NM，即可求解实数a的值．

（1）f（x）（2x+1），

令u＝2x+1，因为x∈[0，1]，所以u∈[1，3]，

可得f（x）转化为h（u）＝u，u∈[1，3]，

由已知条件所给出的性质得，当u∈[1，2]，时，h（u）递减；当u∈[2，3]时，h（u）递增．

所以h（2）≤h（u）≤h（1）＝h（3）

得f（x）的值域是[﹣4，﹣3]；

（2）函数g（x）＝﹣x+2a．为减函数，故当x∈[0，1]时，g（x）的值域[﹣1+2a，2a]，

对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立f（x）的值域是g（x）的值域的子集，

即[﹣4，﹣3][﹣1+2a，2a]，

则，

解得：a．