Question

定义F(x，y)＝(1＋x)^y，x，y∈(0，＋∞)．

(1)令函数f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀(－4＜x₀＜－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；

(2)令函数g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由；

(3)当x，y∈N*，且x＜y时，求证：F(x，y)＞F(y，x)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))＝x3＋ax2＋bx＋1，设曲线C在x0(－4＜x0＜－1)处有斜率为－8的切线， 　　又由题设知log2(x3＋ax2＋bx＋1)＞0，令(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则(x)＝3x2＋2ax＋b， 　　∴存在实数b使得有解．　3分 　　由①得b＝－8－3x02－2ax0，代入③得－2x02－ax0－8＜0， 　　∴由有解， 　　得2×(－4)2＋a×(－4)＋8＞0或2×(－1)2＋a×(－1)＋8＞0， 　　∴a＜10或a＜10，∴a＜10．　5分 　　(2)∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x， 　　∴ 　　．……6分 　　设，则． 　　当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，h(x)为增函数， 　　因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即； 　　当x0∈[1，e]时，≥e＞0，＋lnx0－1≥0， 　　∴．　8分 　　曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程(x0)＝0有实数解． 　　而(x0)＞0，即方程(x0)＝0无实数解． 　　故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．　9分 　　(3)令，由． 　　又令，∴， 　　∴p(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴当x＞0时，有p(x)＜p(0)＝0， 　　∴当x≥1时，有(x)＜0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递减， 　　∴当1≤x＜y时，有， 　　∴yln(1＋x)＞xln(1＋y)，∴(1＋x)y＞(1＋y)x， 　　∴当x，y∈N*，且x＜y时，F(x，y)＞F(y，x)．　13分