Question

2．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx（ω＞0）$的最小正周期为π．对于函数f（x），下列说法正确的是（　　）

• A． 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是增函数
• B． 图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称
• C． 图象关于点$（-\frac{π}{3}，0）$对称
• D． 把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，所得函数图象关于y轴对称

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx（ω＞0）$=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$） 的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$） 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是减函数，故排除A．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$对称，故排除B．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，故函数f（x）的图象关于（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0）对称，故排除C．
所得函数图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos2x，它是偶函数，
故它的图象关于y轴对称，
故选：D．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．