Question

（2012•辽宁模拟）已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax-1-lnx可求得f′（x）=

ax-1

x

，对a分a≤0与a＞0讨论f′（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性与极值，可得答案；
（Ⅱ）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，构造函数g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，g（x）_min即为所求的b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，（1分）
当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；（3分）
当a＞0时，f'（x）≤0得 0＜x≤

1

a

，f'（x）≥0得x≥

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

]上递减，在[

1

a

，+∞）上递增，即f（x）在x=

1

a

处有极小值．（5分）
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，（8分）
令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，则g′（x）=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=-

1

x2

（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e²，由g′（x）≤0得，0＜x≤e²，
∴g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，（10分）
∴g(x)min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．