Question

【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．
（1）求异面直线AC与B1D所成的角；
（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），

∴ ，

∴ ，

∴异面直线AC与B1D所成的角为 ．

（2）解：设E（0，0，a），则 ，

∵B1D⊥平面ACE，AE平面ACE，∴B1D⊥AE．

∴ ，∴﹣1+2a=0， ．

∴VA﹣CDE=VE﹣ADC= = ．

【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到体积．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．