Question

求函数y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x的最小正周期、最小值和单调递增区间．

Answer 1

分析：把函数解析式中的第一与第三项结合，利用平方差公式分解因式，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后提取2后，利用两角差的正弦函数公式化为一个角2x-

π

6

的正弦函数，找出λ的值，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出最小正周期，根据正弦函数的值域得到正弦函数的最小值为-1，即可求出函数y的最小值，根据正弦函数的单调递增区间得到2x-

π

6

的范围，求出x的范围即为函数y的递增区间．

解答：解：y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x
=sin⁴x-cos⁴x+2

3

sinxcosx
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2

3

sinxcosx
=-cos2x+

3

sin2x
=2（sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

）
=2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，y_min=-2，
又∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+2kπ≤2x≤

2π

3

+2kπ，即-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
所以y=2sin（2x-

π

6

）的单调增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形及三角函数的最值．把函数y的解析式利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数是解本题的关键．同时本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握三角函数的恒等变形公式及法则．