Question

已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|=2，动点P的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
（2）设m=时，过点A（-，0）的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出动点的坐标，利用点P是线段MN的中点，且|MN|=2，可得曲线C的方程；对参数分类讨论，即可得到所表示的曲线；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用过点A（-，0）的直线l与曲线C恰有一个公共点，可得判别式等于0，结论方程，即可求得直线l的斜率．
解答：解：（1）设P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂），
依题意得，
消去x₁，x₂，整理得，
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，
当m=1时，方程表示圆．
（2）当m=时，方程为，
设直线l的方程为y=k（x+），与椭圆方程联立，
消去y得（1+4k²）x²+k²x+-2=0，
根据已知可得△=0，
故有（k²）²-4（1+4k²）（-2）=0，k²=
∴直线l的斜率为k=±．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查曲线与方程之间的联系，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式求解．