Question

下列命题：
①命题p：?x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3；
②代数式sinα+sin(

2

3

π+α)+sin(

4

3

π+α)的值与角α有关；
③将函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)的图象向左平移

π

3

个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；
④已知数列a_n满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则S₂₀₁₁=m；其中正确的命题的序号是

 

 （把所有正确的命题序号写在横线上）．

Answer 1

分析：利用函数成立问题的处理方法，可以判断①的正误；根据特殊角三角函数值，及两角和的正弦值，可以判断②的对错；利用函数平移变换及三角函数的奇偶性的判断方法，可以判断③的对错；根据数列的分组求和法，利用数列各项的变化趋势，可以得到④正误，进而得到答案．

解答：解：当x₀∈[-1，1]时，x₀²+x₀+1∈[

3

4

，3]
∴?x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3为真命题；
∵sinα+sin(

2

3

π+α)+sin(

4

3

π+α)=0恒成立，
∴代数式sinα+sin(

2

3

π+α)+sin(

4

3

π+α)的值与角α有关为假命题；
将函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)的图象向左平移

π

3

个单位长度后得到的图象所对应的函数f(x)=3sin(2x+

π

3

)，
由函数f(x)=3sin(2x+

π

3

)是非奇非偶函数，故③为假命题；
∵数列a_n满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），
∴a₃=n-m，a₄=-m，a₅=-n，a₆=m-n，a₇=m，a₈=n，…
数列a_n的项以6为周期，呈周期性变化，
且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0
故∴S₂₀₁₁=a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=a₁=m
故④为真命题
故答案为：①④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，存在题词，数列递推式，两角和与差的正弦函数，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换其中熟练掌握这些基本的知识点是解答此类问题的根本．