Question

【题目】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．

.求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；(III)若PB与底面所成的角为600, AB=2a,求三棱锥E-BCD的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】【试题分析】（1）先借助题设证明OE∥AP，再运用线面平行的判定定理推证PA∥平面BDE；（2）先运用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC，再依据面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面BDE；（3）题借助题设中线面角的定义求出三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解：

证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，

∴OE∥AP，

又∵OE平面BDE，PA平面BDE．

∴PA∥平面BDE．

（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，

又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O

∴BD⊥平面PAC，

而BD平面BDE，

∴平面PAC⊥平面BDE.

（III）∵ PB与底面所成的角为600,且PO⊥底面ABCD，∴∠PBO=600,

∵ AB=2a, ∴BO= a PO= a,

∴E到面BCD的距离= a

∴三棱锥E-BCD的体积V=.