【题目】网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体.很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡.因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了，老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课.某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有
个人.把这个人按照年龄分成5组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中，第一组的频数为20.
（1）求 和
的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；
（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
【答案】（1）
，众数为30；（2）2，3，1（3）所有情况见详解，
【解析】
（1）直接利用频率分布直方图，结合累积频率为1，频数
频率
样本容量，可分别求出
和
的值，最高点的中点横坐标即为众数；
（2）直接利用抽样比即可求第1，3，4组每组各抽取的人数；
（3）列出（2）抽取的6人中随机抽取2人的所有情况，求出这2人来自同一个组的数目，即可求解概率.
解：（1）由题意可知，
，
由
，解得
，
由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30；
（2）第1，3，4组频率之比为
，
则从第1组抽取的人数为
，
从第3组抽取的人数为
，
从第4组抽取的人数为
；
（3）设第1组抽取的2人为
，第3组抽取的3人为
，第4组抽取的1人为
，
则从这6人中随机抽取2人有如下情形：
共有15个基本事件，
其中符合“抽取2人来自同一组”的基本事件有
共4个基本事件，
所以抽取的2人来自同一个组的概率.
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【题目】某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为
，答对文科题的概率均为
，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分
的分布列与数学期望
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
，离心率
，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设点
是椭圆
上一点，左顶点为
，上顶点为
，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求证： 
为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
， 
为焦点是
的抛物线上一点， 
为直线
上任一点， 
分别为椭圆
的上，下顶点，且
三点的连线可以构成三角形.
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆
的另一交点分别交于点
，求证：直线
过定点.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在斜三棱柱
中，底面
是边长为2的正三角形，侧棱长为
，点
在底面
的投影是线段
的中点
，
为侧棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面所成二面角的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
是过点
，倾斜角为
的直线，以直角坐标系
的原点为极点， 
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
．
（Ⅰ）求曲线
的普通方程和曲线
的一个参数方程；
（Ⅱ）曲线
与曲线
相交于
， 
两点，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知二次函数
满足
（
），且
．
（1）求
的解析式；
（2）若函数
在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围；
（3）若关于
的方程
有区间
上有一个零点，求实数
的取值范围．
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