Question

(本小题满分13分)

已知椭圆的离心率为，椭圆短轴长为. 

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）①②

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为满足，

。解得，则椭圆方程为 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）（1）将代入中得 

 

因为中点的横坐标为，所以，解得 ┄┄┄┄8分

（2）由（1）知，

所以 

 

；┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

考点：本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系

点评：圆锥曲线是历年高考中比较常见的压轴题之一，近年高考中其解答难度有逐渐降低的趋势，通过解析几何的自身特点，结合相应的数学知识，比如不等式、数列、函数、向量、导数等加以综合。这就要求在分析、解决问题时要充分利用数形结合、设而不求法、弦长公式及韦达定理综合思考，重视函数与方程思想、数形结合思想、对称思想、等价转化思想的应用。