Question

某市为提高城市品位，计划对市内现有全部出租车进行更新换代，在引进新车型的同时淘汰等量的旧车型，现决定2010年1月份更新a辆，以后每个月更新的车辆数比前一个月多a辆，两年时间更新完毕．
（I）问该市的出租车共有多少辆？
（Ⅱ）若从第二个月起，每个月以10%的增长速度进行更新，至少需要多少个月才能更新完毕？
（参考数据：1.1³⁶≈28.10，1.1³⁶≈30.91，1.1³⁷≈34.00，1.1³⁸≈37.40）

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，设第n个月更新的车辆数为a_n（1≤n≤24），则a_n=na，由此可知该市的出租车总数．
（Ⅱ）依题意，第n个月更新的车辆数b_n=a•1.1^n-1（1≤n≤24），设至少需要x个月才能更新完毕，x个月更新的车辆总数T=

a(1-1.1x)

1-1.1

≥300a，由此可知以此速度进行更新，至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车．

解答：解：（Ⅰ）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为a，
公差为a的等差数列，
设第n个月更新的车辆数为a_n（1≤n≤24），则a_n=na
∴该市的出租车总数S=a+2a+3a+…+24a=

24(a+24a)

2

=300a（辆）
（Ⅱ）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为a，公比为1.1的等比数列，
则第n个月更新的车辆数b_n=a•1.1^n-1（1≤n≤24），
设至少需要x个月才能更新完毕，
∴x个月更新的车辆总数T=

a(1-1.1x)

1-1.1

≥300a，
即1.1^x≥31，由参数数据可得1.1³⁶≈30.91＜31≤1.1^x，x＞36．
故以此速度进行更新，至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车．

点评：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．