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某市为提高城市品位,计划对市内现有全部出租车进行更新换代,在引进新车型的同时淘汰等量的旧车型,现决定2010年1月份更新a辆,以后每个月更新的车辆数比前一个月多a辆,两年时间更新完毕.
(I)问该市的出租车共有多少辆?
(Ⅱ)若从第二个月起,每个月以10%的增长速度进行更新,至少需要多少个月才能更新完毕?
(参考数据:1.136≈28.10,1.136≈30.91,1.137≈34.00,1.138≈37.40)
分析:(Ⅰ)依题意,设第n个月更新的车辆数为an(1≤n≤24),则an=na,由此可知该市的出租车总数.
(Ⅱ)依题意,第n个月更新的车辆数bn=a•1.1n-1(1≤n≤24),设至少需要x个月才能更新完毕,x个月更新的车辆总数T=
a(1-1.1x)
1-1.1
≥300a
,由此可知以此速度进行更新,至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车.
解答:解:(Ⅰ)依题意,每个月更新的车辆数构成一个首项为a,
公差为a的等差数列,
设第n个月更新的车辆数为an(1≤n≤24),则an=na
∴该市的出租车总数S=a+2a+3a+…+24a=
24(a+24a)
2
=300a
(辆)
(Ⅱ)依题意,每个月更新的车辆数构成一个首项为a,公比为1.1的等比数列,
则第n个月更新的车辆数bn=a•1.1n-1(1≤n≤24),
设至少需要x个月才能更新完毕,
∴x个月更新的车辆总数T=
a(1-1.1x)
1-1.1
≥300a

即1.1x≥31,由参数数据可得1.136≈30.91<31≤1.1x,x>36.
故以此速度进行更新,至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车.
点评:本题考查数列的性质的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.
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(本小题满分12分)

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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