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12.已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,顺次连接椭圆四个顶点所得四边形的面积为2$\sqrt{2}$.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线l与椭圆相交于M,N两点,O为原点,若点O在以MN为直径的圆上,试求点O到直线l的距离.

分析 (1)由题意可知:e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,得a=$\sqrt{2}$c,2ab=2$\sqrt{2}$,a2-c2=b2,即可求得a和b的值,求得椭圆的标准方程;
(2)当直线l的斜率不存在时,点O在以MN为直径的圆上,OM⊥ON.求得M和N的坐标,即可求得原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,由韦达定理求得x1x2=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$,y1y2=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$,由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,则x1x2+y1y2═0,求得m2=$\frac{2{k}^{2}+2}{3}$,原点O到直线l的距离为d,则d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{2{k}^{2}+2}{3}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

解答 解:(1)设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0),焦距为2c.
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,得a=$\sqrt{2}$c,①
∵椭圆顶点连线四边形面积为2$\sqrt{2}$,即2ab=2$\sqrt{2}$,②
又∵a2-c2=b2,③
联立①②③解得c=1,a=$\sqrt{2}$,b=1.
故椭圆的方程为:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;  …(4分)
(2)当直线l的斜率不存在时,点O在以MN为直径的圆上,
∴OM⊥ON.
根据椭圆的对称性,可知直线OM、ON的方程分别为y=x,y=-x,
可求得M($\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{3}$),N($\frac{\sqrt{6}}{3}$,-$\frac{\sqrt{6}}{3}$)或M(-$\frac{\sqrt{6}}{3}$,-$\frac{\sqrt{6}}{3}$),N(-$\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{3}$),
此时,原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.…(6分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,点M(x1,y1),N(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
∴x1+x2=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$,x1x2=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$,…(8分)
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2•$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-km(-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$)+m2=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$.
∵OM⊥ON,
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,即x1x2+y1y2═$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$=0,
即3m2-2k2-2=0,变形得m2=$\frac{2{k}^{2}+2}{3}$.
设原点O到直线l的距离为d,则d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{\frac{2{k}^{2}+2}{3}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
综上,原点O到直线l的距离为定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$.…(10分)

点评 本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,向量数量积的坐标运算,点到直线距离公式的综合应用,考查计算能力,属于中档题.

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