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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱垂直于底面，若AB=
    		2
    BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（　　）
    分析：设BB1=1，则AB=
    		2
    ，将向量分解得
    AB1
    =
    AB
    +
    BB1
    ，
    C1B
    =
    C1C
    +
    CB
    ，结合题意算出数量积
    AB1
    •
    C1B
    =0，得到
    AB1
    ⊥
    C1B
    ，从而得出异面直线AB1与C1B所成的角的大小为90°．
    解答：解：如图，设BB1=1，则AB=
    		2
    ，
    ∵正三角形ABC中，∴∠ABC=60°
    可得
    AB1
    •
    C1B
    =（
    AB
    +
    BB1
    ）•（
    C1C
    +
    CB
    ）
    =
    AB
    •
    C1C
    +
    BB1
    •
    C1C
    +
    AB
    •
    CB
    +
    BB1
    •
    CB

    =0-1+|
    AB
    |•|
    CB
    |cos60°+0=-1+
    		2
    •
    		2
    cos60°=-1+1=0
    因此，
    AB1
    ⊥
    C1B
    ，可得异面直线AB1与C1B所成的角的大小为90°
    故选：B
    点评：本题给出特殊的正三棱柱，求异面直线所成角的大小．着重考查了正三棱柱的性质、利用空间向量研究异面直线所成角的大小等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为矩形，在俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，cos∠A1=
    35
    ．
    （1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求证：BC⊥AC1；
    （2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是底边AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．
    （3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
    AA13
    =a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．
    （Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；
    （Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
    		5
    ，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
    （1）求点C到平面A1ABB1的距离；
    （2）求二面角A-BC1-B1的余弦值；
    （3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
    		5
    ，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
    （1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
    （2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•北京）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
    （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
    （Ⅱ）求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；
    （Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
    BDBC1
    的值．

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