Question

已知偶函数f（x）在区间[0，a]（a＞0）上满足：对于两个不等实数x，y总有

f(x)-f(y)

x-y

＞0成立且f（0）?f（a）＜0，则函数y=f（x）在区间[-a，a]内零点的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：根据条件即可得到函数的单调性，利用函数的奇偶性和函数零点判断方法即可得到函数的零点个数．

解答：解：∵在区间[0，a]（a＞0）上满足：对于两个不等实数x，y总有

f(x)-f(y)

x-y

＞0成立，
∴此时函数单调递增，即增区间为[0，a]，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）在[-a，0]上单调递减．
∵f（0）•f（a）＜0，
∴根据函数零点判断方法可知在区间[0，a]上只存在一个零点，
∴在[-a，0]上也只存在一个零点，
即函数y=f（x）在区间[-a，a]内零点的个数是2个．
故选：B．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件求出函数的单调性以及利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．