Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）当0＜x≤

π

3

时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由函数f（x）=

a

•

b

转化为sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，利用周期公式求得ω；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由0＜x≤

π

3

，得

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，再利用整体思想求解．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx（2分）
=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

（4分）
∵ω＞0，∴T=π=

2π

2ω

，∴ω=1（6分）
（Ⅱ）由（1），得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴0＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

（9分）
∴f（x）∈[1，

3

2

]（12分）

点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．