Question

4．已知关于x的方程x²+ax+2=0．
（1）若方程有两个大于1的不等实根，求实数a的取值范围；
（2）若两实根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜4，求实数a的取值范围；
（3）若两实根x₁，x₂满足1＜x₁＜x₂＜4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据方程和函数的关系，构造函数f（x）=x²+ax+2，分别根据根的分布与判别式△的关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）设（x）=x²+ax+2，
若方程有两个大于1的不等实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-8＞0}\\{f（1）=3+a＞0}\\{-\frac{a}{2}＞1}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2\sqrt{2}或a＜-2\sqrt{2}}\\{a＞-3}\\{a＜-2}\end{array}\right.$，即-3＜a＜-2$\sqrt{2}$，
即实数a的取值范围是（-3，-2$\sqrt{2}$）；
（2）若两实根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜4，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2＞0}\\{f（1）=3+a＜0}\\{f（4）=18+4a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-3}\\{a＞-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即-$\frac{9}{2}$＜a＜-3，
即实数a的取值范围是（-$\frac{9}{2}$，-3）；
（3）若两实根x₁，x₂满足1＜x₁＜x₂＜4，
则$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-8≥0}\\{f（1）=3+a＞0}\\{f（4）=18+4a＞0}\\{1＜-\frac{a}{2}＜4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥2\sqrt{2}或a≤-2\sqrt{2}}\\{a＞-3}\\{a＞-\frac{9}{2}}\\{-8＜a＜-2}\end{array}\right.$，即-3＜a≤-2$\sqrt{2}$，
即实数a的取值范围（-3，-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查一元二次函数根的分别，利用条件构造函数，利用判别式△与根的分布是解决本题的关键．