Question

已知x＞0，函数f（x）=-x²+2x+t-1，g（x）=x+

1

x

．
（1）求过点（1，f（1））与y=f（x）图象相切的直线方程
（2）若g（x）=m有零点，求m的取值范围；
（3）确定实数t的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义即可得出切线的斜率f^′（1），再利用点斜式即可得到切线的方程；
（2）利用导数得到g（x）的极小值即最小值，g（x）=m有零点?m≥g（x）_min；
（3）令h（x）=g（x）-f（x），利用导数得出其最小值，g（x）-f（x）=0有两个相异实根?h（x）_min＜0．

解答：解：（1）∵f^′（x）=-2x+2，∴f^′（1）=0．
而f（1）=-1+2+t-1=t，
∴过点（1，f（1））与y=f（x）图象相切的直线方程是y-t=0．
（2）由g′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x

，x＞0，令g^′（x）=0，解得x=1．
解g^′（x）＞0，得x＞1，可得g（x）在（1，+∞）上单调递增；解g^′（x）＜0，得0＜x＜1，可得g（x）在（0，1）上单调递减．
因此当x=1时，g（x）取得极小值即最小值，g（1）=2，
∵g（x）=m有零点，∴m的取值范围是[2，+∞）；
（3）令h（x）=g（x）-f（x）=x+

1

x

+x2-2x-t+1=x2-x+

1

x

-t+1（x＞0），
则h′(x)=1-

1

x2

+2x-2=

2x3-x2-1

x2

=

(x-1)(2x2+x+1)

x2

，
令h^′（x）=0，解得x=1．
解h^′（x）＞0，得x＞1，可得h（x）在（1，+∞）上单调递增；解h^′（x）＜0，得0＜x＜1，可得h（x）在（0，1）上单调递减．
因此当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=2-t，
又x→0⁺时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞．
因此当h（1）＜0，即t＞2时，h（x）在x＞0时与x轴由两个交点，即g（x）-f（x）=0有两个相异实根．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义、函数的零点与方程的根等价转化等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．