Question

6．如图所示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD与平面ABE垂直，M为CE的中点．
（1）求证：AM⊥BE；
（2）求三棱锥C-BED的体积．

Answer 1

分析 （1）取EB的中点N，连接AN、MN，证明DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，MN∥BC，利用CB⊥平面ABE，可得MN⊥平面ABE，进而证明BE⊥平面AMN，即可证明AM⊥BE；
（2）证明AE⊥平面BCD，利用三棱锥C-BED的体积=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$×S_△BCD×EA，即可求三棱锥C-BED的体积．

解答 （1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知条件可知，DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中点N，连接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N为EB的中点，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM?平面AMN，∴AM⊥BE…（6分）
（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AE⊥平面ABCD，即AE⊥平面BCD．
又∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$×BC×BA=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
∴三棱锥C-BED的体积=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$×S_△BCD×EA=$\frac{1}{3}$×1×2=$\frac{2}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面、面面垂直的性质与判定，考查三棱锥C-BED的体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．