【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1,设R(x0 , y0)是椭圆C上的任一点,从原点O向圆R:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.
(1)若直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程;
(2)若直线OP,OQ的斜率存在,并记为k1 , k2 , 求证:2k1k2+1=0;
(3)试问OP2+OQ2是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
【答案】
(1)解:由圆R的方程知,圆R的半径的半径 ,
因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆R相切,
所以 ,即 ,①
又点R在椭圆C上,所以 ,②
联立①②,解得 …(3分)
所以所求圆R的方程为
(2)解:因为直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆R相切,
所以 ,化简得 =0
同理 ,
所以k1,k2是方程(x02﹣8)k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根,
因为点R(x0,y0)在椭圆C上,所以 ,即 ,
所以 ,即2k1k2+1=0
(3)解:OP2+OQ2是定值,定值为36,
理由如下:
法一:(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立 解得
所以 ,同理,得 ,
由 ,
所以 = = = =36
(ii)当直线ξ落在坐标轴上时,显然有OP2+OQ2=36,
综上:OP2+OQ2=36. …(16分)
法二:(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为2k1k2+1=0,所以 ,即 ,
因为P(x1,y1),Q(x2,y2),在椭圆C上,所以 ,
即 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,
所以OP2+OQ2=36.
(ii)当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP2+OQ2=36,
综上:OP2+OQ2=36
【解析】(1)通过直线OP,OQ互相垂直,以及点的坐标适合椭圆方程,求出圆的圆心,然后求圆R的方程;(2)因为直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆R相切,推出k1 , k2是方程 =的两个不相等的实数根,利用韦达定理推出k1k2 . 结合点R(x0 , y0)在椭圆C上,证明2k1k2+1=0.(3)OP2+OQ2是定值,定值为36,理由如下:
法一:(i)当直线ξ不落在坐标轴上时,设P(x1 , y1),Q(x2 , y2),
联立 ,推出 , ,由 ,求出OP2+OQ2是定值.
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有OP2+OQ2=36.
法二:(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1 , y1),Q(x2 , y2),通过2k1k2+1=0,推出 ,利用P(x1 , y1),Q(x2 , y2),在椭圆C上,联立 ,推出OP2+OQ2=36.即可.
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【题目】已知等差数列{an}满足:a3=4,a5+a7=14,{an}的前n项和为Sn .
(1)求an及Sn;
(2)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知点A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0, )
B.
C.
D.
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【题目】已知圆C:x2+(y﹣1)2=5,直线l:mx﹣y+1﹣m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B;
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程.
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【题目】已知函数f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若对于任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为负数,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣4,﹣1)
B.(﹣4,0)
C.(0, )
D.(﹣4, )
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【题目】如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为l5,乙组数据的平均数为16.8,则x+y的值为 .
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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定, .某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年,记为该品牌车在第四年续保时的费用,求的分布列与数学期望值;(数学期望值保留到个位数字)
某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.
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