Question

如图，已知抛物线C₁：x²=2py的焦点在抛物线C₂：上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过抛物C₁上的动点P作抛物线C₂的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN的斜率积为m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）C₁的焦点为F（0，），
所以=0+1，p=2．
故C₁的方程为x²=4y，其准线方程为y=-1．
（Ⅱ）任取点P（2t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-2t）．
由，得x²-2kx+4tk-2t²+2=0．
由△=（2k）²-4（4tk-2t²+2）=0，化简得k²-4tk+2t²-2=0，
记PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，则m=k₁k₂=2t²-2，
因为m∈[2，4]，所以t²∈[2，3]，
所以|OP|²=4t²+t⁴=（t²+2）²-4∈[12，21]，
所以|OP|∈[，]．
分析：（Ⅰ）写出C₁的焦点为F（0，），代入抛物线C₂方程即可求得p值，从而可得抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）任取点P（2t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-2t）．联立切线方程与抛物线C₂的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理为关于k的二次方程，设PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，由韦达定理可用t表示出m，根据m范围可得t²范围，由两点距离公式可得|OP|的范围；
点评：本题考查抛物线方程、直线方程及直线与抛物线的位置关系，本题中P点坐标设法运用了抛物线的参数方程，简化了运算，给解决问题提供了方便．