Question

如图,在三棱锥A－BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD＝,BD＝CD＝1,另一个侧面是正三角形

(1)求证：AD^BC
(2)求二面角B－AC－D的大小
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角？若存在,确定E的位置；若 
不存在,说明理由.

Answer 1

(1)见解析    (2) 所求二面角的大小是
(3)上存在点,且时,与面成角.

本试题主要考查了立体几何中的线线的垂直的证明，以及二面角的求解问题，线面角的求解的综合运用。
（1）利用线面垂直的性质定理得到证明。
（2）合理的建立空间直角坐标系，表示平面的法向量，借助于向量的数量积的性质定理，表示法向量的夹角，得到二面角的平面角的大小。
（3）对于探索性问题，可以假设存在，然后在此基础上，我们进一步分析斜向量和平面的法向量，利用线面角的大小求解得到。
解： (1)方法一:作面于,连


又,则是正方形.
则
方法二:取的中点,连、,
则有

(2)作于,作交于,
则就是二面角的平面角.
是的中点,且∥
则
由余弦定理得
(3)设为所求的点,作于,连.则∥
就是与面所成的角,则.
设,易得
解得
故线段上存在点,且时,与面成角.
解法二:
（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,
以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,

则
 
(2)设平面的法向量为则由知:;
同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,二面角的大小应等于<>
则<>,即所求二面角的大小是.
(3)设是线段上一点,则
平面的一个法向量为
要使与面成角,由图可知与的夹角为,
所以
则,解得,,则
故线段上存在点,且,时与面成角.