Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-CD-E的大小；
（3）求点E到平面B₁CD的距离．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．求出平面EB₁D的法向量

n

₁，和平面B₁CD的法向量

n

₂，根据两个法向量的数量积为0，互相垂直，得到平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）由（1）中平面B₁CD的法向量

n

₂，结合平面CDE的法向量

n

=（0，0，1），代入向量夹角公式，即可求出二面角B₁-CD-E的大小；
（3）由（1）中平面B₁CD的法向量

n

₂，代入点E到平面B₁CD的距离公式d=

| n2  • DE |

| n2  |

，可得点E到平面B₁CD的距离．

解答：证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
∵E（2，1，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2）
∴

EB1

=(0， 1， 2)，

ED

=(-2， -1， 0)．
设平面EB₁D的法向量为

n

₁=（x，y，z），则

n1 • EB1 =0 n1 • ED =0

即

y+2z=0 -2x-y=0

，不妨取

n

₁=（1，-2，1）．
同理，平面B₁CD的法向量

n

₂=（-1，0，1）．…（3分）
∵

n

₁•

n

₂=-1+1=0，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．   …（4分）

（2）解由（1）得平面B₁CD的法向量

n

₂=（-1，0，1），
又平面CDE的法向量

n

=（0，0，1），∴cos＜

m

，

n

＞=

n2 • n

| n2 |•| n |

=

1

2 •1

=

2

2

…（7分）
∴二面角E-B₁C-D的大小为45°． …（8分）
（3）由（1）得平面B₁CD的法向量

n

₂=（-1，0，1），又

DE

=(2，1，0)
∴点E到平面B₁CD的距离为

| n 2• DE |

| n 2|

=

2

2

=

2

…（12分）
说明：采用其它方法进行解答的，按每小题（3分），根据作答情况酌情给分．

点评：本题考查的知识点是用空间向量表示平面间的夹角，点到平面之间的距离计算，向量语言表述面面垂直，平行关系，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．