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(湖北卷文18)如图,在直三棱柱中,平面侧面

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若,直线AC与平面所成的角为,二面角

解:(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作ADA1BD,则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1A1B

AD⊥平面

A1BC.又BC平面A1BC 所以ADBC.

因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1BC.

AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,

AB侧面A1ABB1,故ABBC.

   (Ⅱ)证法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1就是二面角A1BCA的颊角,即∠ACDθ,∠ABA1.=

      于是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D,

      ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角,所以θ=∠AA1D.

      又由RtΔA1AB知,∠AA1D+=∠AA1B+=,故θ+=.

      证法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BCBABB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

AB=cca=,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(),

A1(0,c,a),于是=(0,c,a),

c,a

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n=(0,-ac),于是

n·=ac>0,n的夹角为锐角,则与互为余角

==cossin,

=cos

所以=sin(=cossin),又0<,<,所以=+.

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