Question

设函数f（x）=lnx．
（I）证明函数g(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是单调增函数；
（II）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，当b∈[-1，1]{

1

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出g（x）的导函数，判断出当x＞1时，导数大于0得到g（x）在x∈（1，+∞）上是单调增函数．
（II）将原不等式变形为m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]时恒成立，求出1-（x-1）²的最大值为1，令m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]时恒成立，将此不等式看成关于b的一次不等式，令其两个端点大于等于0即可．

解答：解：（I）∵g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
当x＞1时，g'（x）＞0，
∴g（x）在x∈（1，+∞）上是单调增函数．
（II）∵f（e^1-2x）=lne^1-2x=1-2x，
∴原不等式即为m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]时恒成立．
∵1-（x-1）²的最大值为1，
∴m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]时恒成立．
令Q（b）=m²-2bm-3，则Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．
由Q（-1）≥0，m²+2m-3≥0，解得m≥1或m≤-3．
由Q（1）≥0，m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1．
∴综上得，m≥3或m≤-3．

点评：解决不等式恒成立求参数的范围问题，应该分离出参数，构造函数转化为求函数的最值进行解决．