Question

5．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）
（1）如图，当a=$\frac{1}{2}$时，设A，B，C是函数f（x）=log_ax的图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4（t≥1），记△ABC的面积为S，求S=g（t）的解析式，并求S=g（t）的最大值；
（2）试比较$\frac{1}{2}$f（x）与f（$\frac{x+1}{2}$）的大小；
（3）当a=10时，设F（x）=|f（x）|，且满足F（x）=F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）（0＜x＜t），问是否存在实数t，使得3＜t＜4．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的图象，将三角形的面积转化为S_△ABC=g（t）=S_梯形AA1B1B+S_梯形BB1C1C-S_梯形AA1C1C求解；
（2）分类讨论比较函数值大小；
（3）转为函数H（t）=$t+\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$在（3，4）之间是否有零点问题．

解答 解：（1）过A，B，C，分别作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x轴，垂足为A₁，B₁，C₁，如右图：
则S_△ABC=g（t）=S_梯形AA1B1B+S_梯形BB1C1C-S_梯形AA1C1C，其中a=$\frac{1}{2}$，所以A，B，C各点纵坐标为负，
=（-$\frac{1}{2}$）[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t+$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（t+2）]×2+（-$\frac{1}{2}$）[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（t+2）+log_a（t+4）]×2-（-$\frac{1}{2}$）[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t+$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（t+4）]×4
=-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{（t+2）^{2}}{t（t+4）}$=log₂（1+$\frac{4}{{t}^{2}+4t}$）（t≥1），
故当t=1时，真数取得最大值，S=g（t）_max=g（1）=log₂$\frac{9}{5}$，
即g（t）的最大值为log₂$\frac{9}{5}$；
（2）∵$\frac{1}{2}$f（x）=f（$\sqrt{x}$）且$\frac{x+1}{2}$≥$\sqrt{x}$，∴f（$\sqrt{x}$）与f（$\frac{x+1}{2}$）的大小关系需要作如下讨论：
①当x=1时，$\sqrt{x}$=$\frac{x+1}{2}$，所以，$\frac{1}{2}$f（x）=f（$\frac{x+1}{2}$）；
②当x＞0且x≠1时，
  若0＜a＜1，则函数y=log_ax单调递减，所以，f（$\sqrt{x}$）＞f（$\frac{x+1}{2}$），即$\frac{1}{2}$f（x）＞f（$\frac{x+1}{2}$）；
  若a＞1，则函数y=log_ax单调递增，所以，f（$\sqrt{x}$）＜f（$\frac{x+1}{2}$），即$\frac{1}{2}$f（x）＜f（$\frac{x+1}{2}$）；
（3）∵a=10，∴F（x）=|f（x）|=|lgx|，而F（x）=F（t）且x＜t，
∴x＜1＜t，且-lgx=lgt，解得xt=1，即x=$\frac{1}{t}$，
又∵$\frac{x+t}{2}$=$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$≥1，所以F（$\frac{x+t}{2}$）=lg$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$，
由F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）得lgt=2lg$\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$，化简得，$t+\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$=0，
记H（t）=$t+\frac{1}{t}-2\sqrt{t}$，由于H（3）=2（$\frac{5}{3}$-$\sqrt{3}$）＜0，H（4）=$\frac{1}{4}$＞0，
所以，函数H（t）在t∈（3，4）内必有零点，
故存在t∈（3，4），使F（x）=F（t）=2F（$\frac{x+t}{2}$）成立．

点评 本题主要考查了对数函数的图象与性质，三角形面积的求解，以及函数值大小比较，函数零点的判断，考查了数形结合与分类讨论等解题思想，属于难题．