Question

已知函数 
（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值；
（3）试证明：（）

Answer 1

（1）在区间上是减函数；（2）；（3）详见解析

试题分析：（1）求导即可知，在区间上是减函数；（2）将代入得在上恒成立，令，则 下面利用导数求出的最小值即可；（3）待证不等式的左边是积的形式，而右边是底数为的一个幂，故考虑两边取自然对数，即原不等式转化为： 注意用（2）题的结果 由（2）可得： 对照所要证明的不等式可知，需令，由此可得：

 
 
即 
试题解析：（1）由题                 （3分）
故在区间上是减函数                             （4分）
（2）当时，在上恒成立，取，则，                                  （6分）
再取则             （7分）
故在上单调递增，
而，            （8分）
故在上存在唯一实数根，
故时，时，
故故          （9分）
（3）由（2）知：
令，
所以
 
 
即              14分