Question

【题目】已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．

（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，求a：b的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，

因为BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．

（2）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，

因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角

又 ，且

从而

∴

所以9a2=16b2，即

【解析】（1）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．（2）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，即可求a：b的值．