Question

P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量

a

=（x₁，y₁z₁），

b

=(x2y2z2)，

c

=(x3y3z3)，定义一种运算：(

a

×

b

)•

c

=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算(

AB

×

AD

)-

AP

的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(

AB

×

AD

)-

AP

的绝对值的几何意义．

Answer 1

分析：（1）证明

AP

与平面ABCD内的两个不共线的向量垂直，即证明

AP

与此平面内的两个不共线的向量的数量积等于0．
（2）根据体题中定义的运算法则，化简 |(

AB

×

AD

)•

AP

| 的结果，发现此值正好等于以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积．

解答：解：（1）

AP

•

AB

=(2，-1，-4)•(-1，2，-1)=-2+(-2)+4=0，∴

AP

⊥

AB

，即AP⊥AB．

AP

•

AD

=(-1，2，-1)•(4，2，0)=-4+4+0=0，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2）|(

AB

×

AD

)•

AP

|=48，又cos?

AB

•

AD

＞=

3

105

，
V=

1

3

|

AB

|•|

AD

|•sin?

AB

•

AD

＞•|

AP

|=16
猜测：|(

AB

×

AD

)•

AP

|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积）．

点评：本题考查直线和平面垂直的方法，以及利用题中的新定义的运算法则计算|(

AB

×

AD

)•

AP

|的结果，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．