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已知f(x)、g(x)都是定义域为R的连续函数.已知:g(x)满足:①当x>O时,g′(x)>0 恒成立;②?x∈R都有g(x)=g(-x).f(x)满足:①?x∈R都有f(x+
3
)=f(x-
3
);②当x∈[-
3
2
3
2
]时,f(x)=x3-3x.若关于;C的不等式g[f(x)]≤g(a2-a+2)对x∈[-
3
2
-2
3
3
2
-2
3
]恒成立,则a的取值范围是(  )
A、(-∞,0]∪[1,+∞)
B、[0,1]
C、[
1
2
-
3
3
4
,-
1
2
+
3
3
4
]
D、(-∞,-1]∪[2,+∞)
考点:函数恒成立问题
专题:导数的综合应用
分析:根据条件可得函数g(x)的奇偶性和单调性,利用条件可得函数f(x)的周期性,将不等式进行转化为求函数最值恒成立即可得到结论.
解答: 解:∵函数g(x)满足:当x>0时,g'(x)>0恒成立且对任意x∈R都有g(x)=g(-x),
∴函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g|(x|)=g(x),
∴g[f(x)]≤g(a2-a+2),x∈[-
3
2
-2
3
3
2
-2
3
]恒成立?|f(x)|≤|a2-a+2|恒成立,只要使得定义域内|f(x)|max≤|a2-a+2|min
由f(x+
3
)=f(x-
3
),得f(x+2)=f(x),
即函数f(x)的周期T=2,
∵x∈[-
3
2
-2
3
3
2
-2
3
]时,f(x)=x3-3x,
求导得:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),该函数过点(-,0),(0,0),(,0),
且函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2,
在x=1处取得极小值f(1)=-2,
∴函数f(x)在x∈[-
3
2
-2
3
3
2
-2
3
]的最大值为2,
由2≤|a2-a+2|,即2≤a2-a+2,
则a2-a≥0,
解得:a≥1或a≤0.
故选:A.
点评:本题主要考查不等式的解法,利用条件求出函数的奇偶性和单调性,以及周期性是解决本题的关键,考查导数的综合应用,综合性较强,难度较大.
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2
π
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A、
2
3
3
B、2
3
C、2
2
D、4

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1
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