Question

12．设函数f（x）=$\frac{1}{6}$ax³+（$\frac{a}{2}$-2）x²，g（x）=mlnx，其中a≠0．
（1）若函数y=g（x）的图象恒过定点P，且点P在函数y=f（x）的图象上，求函数y=f（x）在点P处的切线方程；
（2）当m=4时，设F（x）=f′（x）-g（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），试讨论F（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）将P（1，0）代入f（x）的解析式，求出a的值，从而求出f（x）以及过P点的斜率，进而求出切线方程；
（2）先表示出F（x），求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数F（x）的单调性．

解答 解：（1）P点为（1，0），
又点P在y=f（x）的图象上，所以0=$\frac{1}{6}$a+$\frac{a}{2}$-2，解得a=3，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{1}{2}$x²，
于是f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-x，
∴y=f（x）在点P处的切线的斜率为k=f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴y=f（x）在点P处的切线方程为x-2y-1=0；
（2）当m=4时，
F（x）=f′（x）-4lnx=$\frac{1}{2}$ax²+（a-4）x-4lnx，（x＞0），
∴F′（x）=ax+（a-4）-$\frac{4}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+（a-4）x-4}{x}$=$\frac{（x+1）（ax-4）}{x}$，
当a＜0时，因为x＞0，所以F′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上为减函数；
当a＞0时，由F′（x）＞0得：x＞$\frac{4}{a}$，由F′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{4}{a}$，
∴F（x）在（0，$\frac{4}{a}$）上为减函数，在（$\frac{4}{a}$，+∞）上为增函数．
综上，当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上为减函数；
当a＞0时，F（x）在（0，$\frac{4}{a}$）上为减函数，在（$\frac{4}{a}$，+∞）上为增函数．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．