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12.设函数f(x)=$\frac{1}{6}$ax3+($\frac{a}{2}$-2)x2,g(x)=mlnx,其中a≠0.
(1)若函数y=g(x)的图象恒过定点P,且点P在函数y=f(x)的图象上,求函数y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)当m=4时,设F(x)=f′(x)-g(x)(其中f′(x)是f(x)的导函数),试讨论F(x)的单调性.

分析 (1)将P(1,0)代入f(x)的解析式,求出a的值,从而求出f(x)以及过P点的斜率,进而求出切线方程;
(2)先表示出F(x),求出F(x)的导数,通过讨论a的范围,判断函数F(x)的单调性.

解答 解:(1)P点为(1,0),
又点P在y=f(x)的图象上,所以0=$\frac{1}{6}$a+$\frac{a}{2}$-2,解得a=3,
∴f(x)=$\frac{1}{2}$x3-$\frac{1}{2}$x2
于是f′(x)=$\frac{3}{2}$x2-x,
∴y=f(x)在点P处的切线的斜率为k=f′(1)=$\frac{1}{2}$,
∴y=f(x)在点P处的切线方程为x-2y-1=0;
(2)当m=4时,
F(x)=f′(x)-4lnx=$\frac{1}{2}$ax2+(a-4)x-4lnx,(x>0),
∴F′(x)=ax+(a-4)-$\frac{4}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+(a-4)x-4}{x}$=$\frac{(x+1)(ax-4)}{x}$,
当a<0时,因为x>0,所以F′(x)<0,所以F(x)在(0,+∞)上为减函数;
当a>0时,由F′(x)>0得:x>$\frac{4}{a}$,由F′(x)<0得:0<x<$\frac{4}{a}$,
∴F(x)在(0,$\frac{4}{a}$)上为减函数,在($\frac{4}{a}$,+∞)上为增函数.
综上,当a<0时,F(x)在(0,+∞)上为减函数;
当a>0时,F(x)在(0,$\frac{4}{a}$)上为减函数,在($\frac{4}{a}$,+∞)上为增函数.

点评 本题考查了曲线的切线方程问题,考查函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道中档题.

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