【题目】问:有多少种不同的方法将集合中的元素归入三个(有序)集合,使得每个元素至少含于其中一个集合之中,这三个集合的交是空集,而其中任两个集合的交都不是空集?
【答案】1230
【解析】
如图2,考虑韦恩图所分成的七个部分,分别用表示.
现将的元素填入各个部分中,由题意,知处不能填数,而处必须填有数字,且所填元素互不相同(否则,相同元素将归入区域中);处可以填或不填数字,不同的区域中不再填有相同元素(否则,又将归入中).
用表示处所填数字的个数,下同.
由对称性,不妨按情形列举,则有四种情形:
(1);
(2);
(3);
(4).
对于情形(1),从中各取一数分别置于格,有种方法,剩下两数各随意放入格,共有种方法.于是,情形(1)有种.
对于情形(2)中的,含两个数的格有三种情形,对于其中任一情形,中取两数放入一格,另外两格各放一数,有种,剩下一数放于格之一,有3种方法.于是,情形(2)有种.
对于情形(3)中的,含一个数的格有三种情形,对于其中任一情形,中取一数放入一格,另外取两数放入一格,剩下两数放入另一格,有种.于是,情形(3)有种.
对于情形(4)中的,含三个数的格有三种情形,对任一情形,中取三个数放入一格,另外的两格各放一个数,有种.于是,情形(4)有种.
综上,共有(种).
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【题目】如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D1-AC-B1的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.
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【题目】已知函数,其图象与轴相邻的两个交点的距离为.
(1)求函数的解析式;
(2)若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点,求当取得最小值时,在上的单调区间.
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【题目】某校高三年级有500名学生,为了了解数学学科的学习情况,现随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩(满分150分),制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
① | ② | |
0.050 | ||
0.200 | ||
12 | 0.300 | |
0.275 | ||
4 | ③ | |
0.050 | ||
合计 | ④ |
(1)①②③④处应分别填什么?
(2)根据频率分布表完成频率分布直方图.
(3)试估计该校高三年级在这次测试中数学成绩的平均分.
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【题目】甲、乙两台机床同时加工直径为10cm的零件,为了检验零件的质量,从零件中各随机抽取6件测量,测得数据如下(单位:mm):
甲:99,100,98,100,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差
(2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A(2,4)
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
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【题目】已知圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程(用直线方程的一般式表示).
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【题目】已知以点为圆心的圆过点和,线段的垂直平分线交圆于点,且.
(1)求直线的方程;
(2)求圆的方程;
(3)是否存在点在圆上,使得的面积为?若存在,请指出共有几个这样的点?说明理由,并求出这些点的坐标.
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【题目】如图1,已知菱形的对角线交于点,点为线段的中点,,,将三角形沿线段折起到的位置,,如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面 平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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