Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明；
（3）利用等积变形和三棱锥的条件计算公式即可得出．

解答：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）解：∵E是PC的中点，
∴点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC，
又S_△DFC=

1

2

×2×

3

=

3

，E到平面DFC的距离h=

1

2

PA=

1

2

，
∴V_E-DFC=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．

点评：熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理及利用等积变形计算三棱锥的体积的方法是解题的关键．