Question

已知命题p：函数f（x）=x²+2ax+1在R上有零点，命题q：x²+3（a+1）x+2≤0在区间[

1

2

，

3

2

]内恒成立，若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：化简命题得到：p为真时，a≤-1，a≥1．q为真时，a≤-

5

2

，命题“p且q”是假命题，分解为p，q一真一假，或都为假，判断即可得出答案．

解答： 解：命题p：函数f（x）=x²+2ax+1在R上有零点，
则△=4a²-4≥0，
解得p为真时，a≤-1或a≥1．
命题q：x²+3（a+1）x+2≤0在区间[

1

2

，

3

2

]内恒成立，
∴3（a+1）≤-(x+

2

x

)在区间[

1

2

，

3

2

]内恒成立
-

9

2

≤-（x+

2

x

）≤-2

2

只需3（a+1）≤-

9

2

即可
解得q为真时，a≤-

5

2

∵命题“p且q”是假命题，
∴p，q一真一假，或都为假，
当p真，q假时，-

5

2

＜a≤-1，a≥1，
当p假q真时，a∈∅
当p，q都为假时，-1＜a＜1．
综上实数a的取值范围为（-

5

2

，+∞，）

点评：本题考查了命题的真假，与不等式的解集，集合的关系，属于中档题．