Question

（2008•嘉定区一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，则当x∈[-4，-2]时，函数f（x）的最小值为

-

1

4

．

Answer 1

分析：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x-2）=13f（x），由此关系求出求出x∈[-4，-2]上的解析式，再配方求其最值．

解答：解：由题意定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
任取x∈[-4，-2]，则f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），
由于x+4∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，
故f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[（x+4）²-2（x+4）]=

1

4

（x²+6x+8）=

1

4

[（x+3）²-1]，x∈[-4，-2]
当x=-3时，f（x）的最小值是-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），且由此关系求出x∈[-4，-2]上的解析式，做题时要善于利用恒恒等式．