Question

在三棱锥中，侧棱长均为，底边，，，、分别为、的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角.

Answer 1

（1）三棱锥的体积为；（2）二面角的平面角的大小为.

试题分析：（1）由于三棱锥的侧棱长都相等，可以得到点在平面内的射影点为的外心，而由于的三条底边满足勾股定理，可知为直角三角形的斜边，从而可以知道的中点即为直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出，并且计算出直角三角形的面积，最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积；（2）解法一是在（1）中的基础上，利用平面，得到平面平面，然后在平面内作于点，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而得到，再从点在平面内作于点，并连接，利用三垂线法得到为二面角的平面角，最后在直角三角形中计算的大小；解法二是以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角
的平面角的大小.
试题解析：（1）取的中点，连接，
易得：，，
,
.
.
又 平面，

（2）法一：作⊥，⊥于点，连接
平面,平面,

又 平面.
∵，  ∴
又 平面，
∵，∴，
∴为二面角的平面角.
∵,,
由（Ⅰ）知，.
∴，
∴,∴，
法二：以为原点，以为轴建系，则，，
设为平面的法向量，则有
，
∴
又∵为平面的法向量，
∴,二面角的平面角为.